Von 2006 bis 2016 war Alexander Künstlerischer Leiter und Chefdirigent des Münchener Kammerorchesters. Ihre erste gemeinsame CD mit Werken von Joseph Haydn und Isang Yun wurde im Januar 2008 mit großem Erfolg veröffentlicht. Die aktuelle Veröffentlichung „Requiem“ von Tigran Mansurian mit RIAS Kammerchor auf dem Label ECM Classics wurde für den Grammy Award 2018 und den ICMA Award 2018 in der Kategorie „Contemporary Music“ nominiert.
Als Gastdirigent arbeitete Alexander mit vielen renommierten Orchestern zusammen, darunter dem Concertgebouw Orchestra, BBC Symphony Orchestra, Radio Symphony Orchestra Berlin, Orquestra Sinfônica do Estado de São Paulo, St. Petersburg Symphony Orchestra, Yomiuri Nippon Symphony Orchestra, NHK Symphony Orchestra und Tonhalle Orchestra Zürich. Zu den jüngsten und zukünftigen Engagements gehören Debüts mit dem Japan Philharmonic Orchestra, dem Singapore Symphony Orchestra, dem Orquesta de Valencia und dem Mahler Chamber Orchestra.
Er tritt regelmäßig mit namhaften Solisten wie Lisa Batiashvili, Krystian Zimerman, Frank Peter Zimmermann, Alban Gerhardt, Leila Josefowicz und Isabelle Faust auf.